에어팟 연결 끊김 증상은 순서를 지키지 않고 이것저것 눌러보면 오히려 시간만 더 걸립니다. 쉬운 확인부터 시작해서, 안 되면 다음 단계로 넘어가는 방식이 맞습니다.
여기서는 Apple 공식 지원 문서에 나온 절차만 순서대로 정리했습니다. 확인되지 않는 방법은 적지 않았습니다.

에어팟 연결 끊김, 배터리와 거리부터 확인하세요
이 문제의 원인 중 상당수는 아주 단순합니다. 배터리가 얼마 남지 않았거나, 아이폰과 에어팟 사이 거리가 벌어진 경우입니다.
아이폰 설정 앱의 블루투스 화면에서 연결된 에어팟 이름 옆의 배터리 아이콘을 확인할 수 있습니다. 배터리가 낮으면 케이스에 넣어 충전부터 하십시오.
거리도 살펴야 합니다. 아이폰을 가방이나 다른 방에 두고 멀리 떨어지면 신호가 자꾸 끊깁니다. 정확한 유효 거리는 공개된 자료에서 확인되지 않으니, 아이폰을 가까이 두고 다시 확인해 보십시오.
블루투스를 껐다 켜고, 에어팟도 재시작해 보세요
가장 먼저 시도할 것은 아이폰 설정에서 블루투스를 껐다가 다시 켜는 것입니다. 간단하지만 일시적인 오류는 이 단계에서 많이 풀립니다.
그다음은 에어팟 자체를 재시작하는 방법입니다. Apple 공식 안내에 따르면 케이스에 넣고 뚜껑을 닫은 채 최소 10초 기다리면 됩니다. 에어팟 맥스는 디지털 크라운과 리스닝 모드 버튼을 동시에 눌러 상태 표시등이 주황색으로 깜빡일 때까지(약 10초) 유지하면 재시작됩니다.

이 두 가지로 해결되는 경우가 많습니다. 그래도 계속 끊기면 다음 단계로 넘어가십시오.
기기 등록 해제 후 다시 연결하기
재시작으로 안 풀리면 등록을 아예 지우고 새로 연결하는 방법이 있습니다.
아이폰 설정 > 블루투스에서 에어팟 이름 옆의 정보(i) 버튼을 누르고 이 기기 지우기를 선택합니다.

지운 뒤에는 케이스 뚜껑을 열고 아이폰을 가까이 대어 다시 연결합니다. 이때 연결하려는 기기가 사용자의 Apple 계정에 연결된 상태여야 정상적으로 다시 페어링됩니다.
펌웨어(소프트웨어) 업데이트 여부 확인
펌웨어가 오래되어도 연결이 불안정해질 수 있습니다. 버전은 설정 > 블루투스 > 에어팟 정보(i) 버튼을 누르면 정보 항목에서 확인됩니다.
다만 에어팟 펌웨어는 수동으로 누르는 업데이트 버튼이 없습니다. 케이스가 충전 중이고, 와이파이에 연결된 아이폰·아이패드의 블루투스 범위 안에 있을 때 자동으로 이뤄집니다.
참고로 케이스 충전 단자에 먼지가 끼어 있으면 충전에 영향을 줄 수 있습니다. 마른 솔로 접점을 가볍게 정리해 두는 것도 함께 챙겨 볼 부분입니다.

주변에 아이폰이나 아이패드가 전혀 없다면 Apple Store나 Apple 공인 서비스 제공업체에 방문 예약을 해서 펌웨어를 업데이트하는 방법도 안내되어 있습니다.
그래도 에어팟 연결 끊김이 계속되면 재설정입니다
여기까지 다 해봤는데도 안 된다면 재설정(리셋)이 마지막 소프트웨어 단계입니다. 다만 모델마다 방법이 다릅니다.
에어팟 1·2·3세대와 에어팟 프로 1·2세대는 케이스에 넣고 뚜껑을 닫은 채 30초 기다린 뒤 뚜껑을 열고, 케이스 뒷면의 세팅 버튼을 약 15초 눌러 상태 표시등이 주황색에서 흰색으로 바뀌는 것을 확인합니다.

에어팟 4세대와 에어팟 프로 3세대는 버튼이 따로 없습니다. 대신 케이스 앞면을 정해진 타이밍에 세 번 두드리는 방식입니다. 절차가 달라 이전 세대의 방법을 그대로 따라 하면 재설정되지 않습니다.
에어팟 맥스는 디지털 크라운과 리스닝 모드 버튼을 동시에 약 15초 눌러 상태 표시등이 주황에서 흰색으로 바뀌면 완료됩니다.
상태 표시등이 흰색으로 바뀌지 않으면 케이스를 20초간 닫았다가 모델에 맞는 절차를 처음부터 다시 시도하십시오. 재설정 후에는 등록도 새로 해야 합니다.
재설정도 안 되면 분해하지 말고 공식 서비스로
여기까지 시도해도 그래도 증상이 그대로라면 소프트웨어로 풀 수 있는 범위를 넘어선 것입니다.
⚠ 직접 분해해서 배터리나 안테나 부분을 손보는 것은 권하지 않습니다. 방수 처리와 보증이 함께 날아가고, 다칠 위험도 있습니다.

이 단계에서는 Apple 공식 지원 채널이나 Apple Store, Apple 공인 서비스 제공업체에 문의해 점검을 받는 것이 맞습니다. 부품 하나가 아니라 무선 모듈이나 케이스 자체의 문제일 수도 있기 때문입니다.
자주 묻는 질문
한쪽만 자꾸 끊깁니다. 원인이 다른가요.
확인 방법은 같습니다. 배터리·거리 확인부터 시작해 등록 해제, 재설정 순서로 접근하십시오.
재설정하면 저장된 설정도 지워지나요.
등록이 초기화되므로 다시 페어링해야 합니다. 개별 설정 유지 여부는 공개된 자료에서 확인되지 않습니다.
펌웨어를 수동으로 업데이트할 수 있나요.
수동 업데이트 버튼은 없습니다. 충전 중이고 와이파이에 연결된 기기 근처에 있을 때 자동으로 이뤄집니다.
세팅 버튼이 어디 있는지 모르겠습니다.
1~3세대와 프로 1·2세대 케이스는 뒷면에 있습니다. 4세대와 프로 3세대는 버튼 대신 케이스 앞면을 두드리는 방식입니다.
에어팟 연결 끊김이 계속되면 어떻게 하나요.
배터리·거리, 재시작, 등록 해제, 펌웨어, 재설정을 모두 시도한 뒤에도 그렇다면 분해하지 말고 Apple 공식 서비스에 문의하십시오.
충전 케이스만 문제일 수도 있나요.
충전 접점이 더러우면 충전에 영향을 줄 수 있습니다. 다만 그것만으로 연결 끊김이 전부 설명되는지는 확인되지 않습니다.
모델과 소프트웨어 버전에 따라 절차가 바뀔 수 있으니 정확한 내용은 Apple 공식 지원 문서를 확인하십시오.